Le problème des chapeaux

En arrivant,  $n$ personnes laissent leur chapeau à un vestiaire. En repartant, chaque personne reprend un chapeau au hasard.
On note  $1,2,...,n$ les personnes et on considère les variables aléatoires $X_i$ , avec $1⩽i⩽n$ , définies par : 
$X_i=\{\begin{array}{ll}1& \text{si la personne}i\text{retrouve son chapeau}\\ 0& \text{sinon}\end{array}$

1. Soit $X=X_1+X_2+...+X_n$ . Que représente $X$  ?

2. Soit $i$  un entier tel que $1⩽i⩽n$ .
    a. Montrer que $P(X_i=1)={\displaystyle \frac{1}{n}}$ .
    b. Quelle est la loi suivie par $X_i$  ?

3. Calculer $E(X)$  et interpréter.